The purpose of computing is insight, not numbers.
R. W. Hamming

 

 

 

Mit Beiträgen um den Computereinsatz in der Mathematik im allgemeinen und im Mathematikunterricht im Besonderen können ganze Regale gefüllt werden. Mit dieser Seite soll diese Diskussion keinesfalls erweitert werden, die sinnvolle Nutzung des Computers bzw. entsprechender Programme steht (jedenfalls für mich) längst außer Frage. Hier soll lediglich dargestellt werden, wie es (neben vielen anderen mindestens ebenso guten Ideen) zu einer möglichen vernünftigen Einbindung in die Ausbildung zukünftiger Mathematiklehrerinnen und -lehrer kommen kann.

Vorausgeschickt zum besseren Verständnis doch noch meine Argumentation für die Einbindung des Computers: Es ist nun wirklich jedem klar, dass die Herausbildung menschlicher Fähigkeiten und Fertigkeiten der Übung bedarf. Niemand wird ernsthaft in Abrede stellen, dass jemand - um ein guter Musiker zu werden - täglich fleißig üben muss. Bei einem Profi bedingt schon der Beruf, dass er täglich zum Instrument greift. Möchte jemand im Sport Erfolge erzielen, dann wird er oder sie gut daran tun, mehrmals die Woche oder gar täglich zu trainieren. Schwimmen lernt man eben nur im Wasser und nicht vom bloßen Zuschauen.

Was nun für das Erlernen eines Instruments oder einer Sportart gilt, lässt sich nicht nur auf alle anderen zu erlernenden Fähigkeiten - einschließlich der Mathematik! - übertragen, vielmehr ist eine stetige, übende Beschäftigung mit dem Lerngegenstand eine unerlässliche Notwendigkeit auf dem Weg zum Meister, von denen bekanntlich noch keiner vom Himmel gefallen ist. Warum nun der größte Teil der Menschheit glaubt, gerade beim Erlernen von Mathematik von dieser ehernen Regel abweichen zu können, wird mir immer ein Rätsel bleiben! Besonders rätselhaft ist dieses Phänomen bei Lehramtsstudierenden, welche neben Musik oder Sport in einem weiteren Fach Mathematik studieren. So ist diese Spezies neben den (theoretischen) Vorlesungen und Seminaren ihres Sport- oder Musikstudiums beinahe rund um die Uhr in der Sporthalle, auf dem Sportplatz und im Schwimmbad bzw. übend am Instrument anzutreffen und es ist wirklich erstaunlich, zu welcher Perfektion es dadurch viele Studierende in sportlicher oder musikalischer Hinsicht bringen. Die Mathematik hingegen glaubt man mit dem bloßen Lauschen der Worte des oder der Lehrenden im Hörsaal hinreichend verstehen zu können. Konkrete Arbeitsaufträge (Übungsaufgaben) werden in aller Regel nur widerwillig ausgeführt oder einfach ignoriert. Dass es dabei zu einem Missverhältnis der erzielbaren Leistungen in Musik oder Sport auf der einen und in der Mathematik auf der anderen Seite kommen muss, sollte eigentlich niemand verwundern.

Vieleicht liegt das ganze Missverständnis und Missverhältnis ja auch daran, dass man wohl allgemein weiß, wie man eine Sportart trainiert oder am Instrument übt, es hingegen den meisten Menschen rätselhaft ist, wie man (wirklich produktiv) Mathematik übt. Das Eine (Musik, Sport) macht man im Allgemeinen handelnd auf der enaktiven Ebene, Mathematik hingegen findet andererseits weitgehend abstrakt auf einer symbolischen Ebene statt und man fragt sich, wie man auf dieser Ebene überhaupt "üben" kann. Nun gibt es hierfür eine ganze Menge an sinnvollen Vorschlägen, von denen ich im Hinblick auf meine Intention zielgerichtet nur einen einzigen herausgreifen möchte:

Grundsätzlich richtig ist sicher, dass man die zu übende Prozedur zunächst gedanklich analysiert und durchdenkt. Dies wird ein Sportler machen, der einen Bewegungsablauf trainieren will, ebenso wie ein Musiker, der eine schwierige Stelle in einem Musikstück üben will und insofern unterscheidet sich ein Üben am Turngerät oder am Instrument überhaupt nicht vom Üben von Mathematik. Erst nach einem gedanklichen Durchdringen wird man die entsprechenden Bewegungsabläufe ausführen, in der Ausführung beobachten (oder vom Trainer oder Musiklehrer beobachten lassen) und aufgrund dieser Rückmeldungen zuerst den gedanklichen Prozess und danach den enaktiven Prozess verbessert wiederholen. Dieses Korrektiv scheint dem Mathematik-Übenden zu fehlen, da er ja den gedanklich vollzogenen Prozess in aller Regel nicht in Bewegungen umsetzen kann. Als Korrektiv muss hier ein Partner dienen, mit dem die gefundenen Überlegungen diskutiert werden können. Dies kann der Lehrende oder Tutor sein, dies kann ein Lernpartner oder eine Lerngruppe sein. Doch nicht immer steht ein geduldiger Mensch zur Verfügung, mit dem man seine Gedanken über die dazu benötigte Zeitspanne ordnen, strukturieren und weiterentwickeln kann.

Es gilt weiterhin, dass man einen Stoff nur dann wirklich verstanden hat, wenn man diesen lehren - also Anderen beibringen - kann. Auch hierfür sind nun wieder Personen nötig, die zudem noch kompetent sein müssen, um entscheiden zu können, ob der "vermittelte Stoff" richtig widergegeben wird.

Fehlen solche menschlichen Trainer, Lehrer, Partner, dann bietet sich der PC mit entsprechenden Softwaresystemen als "Sparringspartner" an: Wer glaubt, dass er den euklidischen Algorithmus zur ggT-Bestimmung zweier Zahlen verstanden hat, der bilde diesen doch einfach einmal in einem Tabellenkalkulationssystem (EXCEL) ab. Wer dies schafft, kann mit Fug und Recht behaupten, dass er den Algorithmus verstanden hat. Und für denjenigen, der ihn noch nicht so richtig kapiert hat, ist der PC ein geduldiger, aber auch unerbittlicher Sparringspartner: Man kann seine Ideen korrigieren, weiterentwickeln, alternative Wege versuchen, ... Der Computer nimmt dies alles klaglos zu jeder Tages- und Nachtzeit hin und belohnt die ganze Mühe am Ende mit einem funktionierenden "Programm". Dabei ist er ein unerbittlicher "Lehrer": Erst wenn er alle Anweisungen lückenlos "verstanden" hat, wird er das Gewünschte auch wirklich ausführen. Das Glücksgefühl ist wirklich unbeschreiblich, wenn nach vielen Versuchen, Fehlschlägen und Irrwegen das selbst erstellte "Programm" endlich funktioniert!

Neben dieser praktischen und motivierenden "Übemöglichkeit", die der PC dem Lernenden bietet, ist als weiteres Argument für die Nutzung des Computers die Beschäftigung mit mathematischen Werkzeugen zu nennen, die heute untrennbar mit einer professionellen Auseinandersetzung mit der Mathematik einhergehen. Jeder Mathematiker bedient sich entsprechender Softwaresysteme, zu denen beispielsweise  Computer-Algebra-Systeme gehören. In den Schulen haben längst dynamische Geometriesysteme Fuß gefasst und ein Lehramtsstudent tut gut daran, neben der Tabellenkalkulation auch mindestens noch diese beiden Werkzeuge frühzeitig kennen zu lernen, so dass sie ihm schon für seine eigene Ausbildung gute Dienste leisten können.

Nicht zuletzt ist die Verfügbarkeit eines mathematischen Werkzeugs, mit dem relativ schnell und mit nur geringem Aufwand viele Beispiele durchgerechnet und dargestellt werden können, für das eigene Verstehen von Mathematik hilfreich. Die Darstellung der Potenzmenge der Menge {a, b, c} mag ja noch schnell von Hand gelingen, wählt man aber als Ausgangsmenge das gesamte Alphabet, dann wird die Notation der Potenzmenge deutlich aufwändiger. Für das Erkennen geometrischer Zusammenhänge sind häufig mehrere leicht abgewandelte Konstruktionen notwendig, dynamische Geometriesysteme liefern diese quasi „frei Haus“. Aber nur, wer bereits zu Beginn die vielfältigen unterstützenden Eigenschaften entsprechender PC-Programme kennen gelernt hat, kann diese während seines Studiums gewinnbringend einsetzen!

Aus genau diesem Grund biete ich für Studienanfänger immer im Wintersemester ein einführende Veranstaltung mit dem Titel Computer als Arbeitsmittel in den MINT-Fächern an, die  nicht nur  Mathematikstudierende anspricht, sondern sich an alle Studierenden wendet, welche - insbesondere in den MINT-Fächern - den Copmuter als sinnvolles Werkzeug einsetzen wollen.

Die konkrete Auswahl entsprechender Software ist natürlich subjektiv. Über allen weiteren Kriterien schwebt jedoch - insbesondere in der Ausbildung von Studierenden - der Preis dieser Softwaresysteme. Schielt man mit einem Auge auch noch auf den Funktionsumfang und die Leistungsfähigkeit der auf dem Markt befindlichen Produkte, so gibt es im Bereich von Computer-Algebra-Systemen eigentlich nur einen Vertreter, der für Ausbildungszwecke in Frage kommt, dies ist das Open-Source-Projekt "Maxima".

Die Wahl im Bereich der dynamischen Geometriesoftware fiel auf "Cinderella". Dies zum einen objektiv aufgrund des dort vorhandenen Funktionsumfangs und der kostenlosen Nutzungsmöglichkeit durch Studierende unserer Hochschule sowie subjektiv aufgrund einer nicht nur in Anwendungsfragen ungemein hilfreichen freundschaftlichen Verbundenheit zu Uli Kortenkamp, seit er vor vielen Jahren einige Zeit als Kollege bei uns an der PH in Schwäbisch Gmünd war.

Beide Pakete haben noch einen weiteren, nicht zu unterschätzenden Vorteil: Sie sind auf mehreren Betriebssystemen (Windows, Mac OS, Linux) lauffähig und die Installation verläuft in aller Regel problemlos.

maxima logo

Am besten beziehen Sie die für Ihr Betriebssystem passende Version von Maxima über die Seite

http://maxima.sourceforge.net/

und installieren diese gleich auf Ihrem privaten Rechner. Die Installation verläuft meist problemlos, lediglich wenn Sie eine Firewall installiert haben, kann es mit der internen Kommunikation von Maxima problematisch werden. Sie müssten in diesem Fall den von Maxima benötigten Port 4010 in Ihrer Firewall freischalten. Außerdem sollte Ihr Userverzeichnis keine Sonderzeichen (ä,ö,ü,ß, ...) enthalten. Weitere Hilfen zur Installation erhalten Sie in dem Installations-Handbuch, das Sie bei Problemen mit oder nach der Installation – wenn Maxima nicht wie erwartet funktioniert – als Erstes zu Rate ziehen sollten!

Zur Handhabung von Maxima gibt es viele hilfreiche Seiten im Netz, die Verweise hierzu finden Sie unter

http://maxima.sourceforge.net/documentation.html

z.B. (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):

http://def.fe.up.pt/dynamics/maxima_tutorial.html

Nach der Installation sollten Sie zuerst die nachfolgend genannte Datei herunterladen, in Maxima öffnen und die enthaltenen Anweisungen Schritt für Schritt abarbeiten. Es ist meine Übersetzung des Tutorials: 10 minute (wx)Maxima tutorial: a quick introduction to wxMaxima and Maxima (by Žiga Lenarčič). Sie müssen diesen Link mit der rechten Maustaste anklicken, aus dem Kontext-Menü die Option "Datei herunterladen" wählen und diese auf Ihrem Rechner speichern - die genaue Vorgehensweise hängt von Ihrem Browser ab!

Laden Sie dann auf dieselbe Weise die Datei graph_test.wxm herunter und öffnen SIe diese in Maxima. Aktivieren Sie dann nacheinander die enthaltenen Maxima-Anweisungen und testen Sie damit, ob die Grafikausgabe von Maxima vollständig funktioniert. Weitere Hinweise bekommen Sie in der Datei selbst.

Es gibt schließlich noch mein (wohl immer unvollständig bleibendes) Maxima-Handbuch, das sich zum Einarbeiten wie zum Nachschlagen eignet. Wesentlich fleißiger war da der Kollege Wilhelm Haager von der HTL St. Pölten, der mit seinem Buch "Computeralgebra mit Maxima" seit Ende 2014 eine wirkliche Lücke geschlossen und ein Standardwerk über Maxima vorgelegt hat:

Wilhelm Haager: Computeralgebra mit Maxima. Grundlagen der Anwendung und Programmierung. Carl Hanser Verlag München, 2014. ISBN 978-3-446-44203-0. Als eBook: 978-3-446-43730-2

cinderella

Cinderella beziehen Sie in der benötigten Betriebssystemversion über die Seite

http://beta.cinderella.de/public/

Sollten Sie auch noch die Lizenzdatei benötigen, so erhalten Sie diese über die Software-Seite des Instituts. Außerdem steht eine kleine und sicher nicht umfassende, aber doch hoffentlich hilfreiche Cinderella-Anleitung für Ihre ersten Schritte in Cinderella zur Verfügung. Das "offizielle" Handbuch zu Cinderella ist:

Richter-Gebert / Kortenkamp: The Cinderella.2-Manual: Working with The Interactive Geometry Software, Springer, 2012

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