Für die Bestimmung von weight&balance gilt dasselbe: Wer rechnet tatsächlich sein aktuelles Abfluggewicht aus und bestimmt die Lage des Fluggewichtsschwerpunkts? Vielleicht der Flugschüler, wenn er dieses Thema lernt und der Prüfungsaspirant, weil es der Prüfer sehen will. Sonst wird man diese Aufgabe ebenfalls an sein Flugplanungsprogramm delegieren. Trotzdem ist es nicht nur interessant sondern auch hilfreich, die zugrundeliegenden Berechnungen zu verstehen.

Das höchstzulässige Gewicht

Für jedes Flugzeug gibt es ein maximales Gewicht, das es zu tragen vermag. Dieses Gewicht setzt sich aus seinem Leergewicht und dem Gewicht der Zuladung (Kraftstoff, Personen und Gepäck) zusammen. Dieses Maximalgewicht wird vom Hersteller festgelegt und darf nicht überschritten werden.
Es versteht sich von selbst, daß ein Flugzeug halt irgendwann nicht mehr vom Boden wegkommt, wenn es zu schwer ist. Außerdem ist dann seine mechanische Stabilität gefährdet; das Fahrwerk knickt ein oder der Flügel ist überlastet.
Natürlich denkt kein Mensch daran, ein Flugzeug so vollzupacken, daß es gar nicht mehr abheben kann. Aber mal 100 kg mehr werden schon nicht die Welt sein; bei Abfluggewichten von 1000 kg sind das ja gerade mal 10%. In der Tat sind diese 100 kg zunächst „kein Problem“. Berücksichtigt man jedoch, daß aufgrund von Vertikalbeschleunigungen und im Kurvenflug das Lastvielfache beträchtlich zunimmt, sieht die Rechnung schon ganz anders aus:
Bei einem höchstzulässigen Abfluggewicht von 1000 kg und einem zulässigen Lastvielfachen von 3,8 (gerundet 4,0) hat die Struktur bei dieser Lastigkeit immerhin 4000 kg zu tragen. Die „mickrigen“ 100 kg, die man überladen hat, werden in diesem Moment aber zu 400 kg, welche die Zelle zusätzlich verkraften muß und da kann es dann schon brenzlig werden. Allerdings kommt es im Flugzeug nicht nur darauf an, daß nicht zuviel zugeladen wird; es ist auch von großer Bedeutung, wo sich die hinzukommenden Gewichte (Personen, Benzin, Gepäck) befinden. Um dies zu verstehen, sind kurze Ausflüge in die Physik und Aerodynamik notwendig.

Der Schwerpunkt

Jeder Körper besitzt einen Schwerpunkt, an dem man sich die Summe aller Gewichtskräfte angreifend denkt. Bei regelmäßigen Körpern (Würfel, Quader) befindet sich der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Raumdiagonalen. Bei anderen Körpern kann er ermittelt werden, indem der Körper an mindestens 2 verschiedenen Stellen aufgehängt wird. Der Schnittpunkt der Lote von den Aufhängepunkten ergibt den Schwerpunkt. Hängt man einen Gegenstand in (oder knapp über) seinem Schwerpunkt auf, dann ist er im statischen Gleichgewicht; er hat keine Neigung sich zu drehen, um den Schwerpunkt unter den Aufhängepunkt zu bringen.
Auch unser (leeres) Flugzeug hat einen (Leergewichts-)Schwerpunkt. Er befindet sich meist auf der Längsachse etwa in Höhe der Pilotensitze. Hängt man das Flugzeug am (bzw. knapp über dem) Schwerpunkt auf, dann ist seine Rumpflängsachse genau horizontal, man sagt, das Flugzeug ist „ausgewogen“ oder „in Waage“. Da diese Lage der üblichen Fluglage entspricht, ist es wichtig, das Flugzeug eben gerade im (oder über dem) Schwerpunkt „aufzuhängen“. Um zu verstehen, wie und wodurch man ein Flugzeug „aufhängen“ kann, ist eine Rückbesinnung auf die Aerodynamik notwendig.

Der Druckpunkt

Überall am Tragflügel greifen während des Fluges Luftkräfte an, die ihn heben und somit den Auftrieb erzeugen. All diese unzähligen Kräfte summiert man physikalisch auf in eine einzige große Luftkraft, ihren Angriffspunkt denkt man sich an einer Stelle am Profil angreifend, dem sogenannten Druckpunkt. Er befindet sich bei Normalfluglage etwa in Spannweitenmitte an der Stelle der größten Profildicke. Leider ist dieser Druckpunkt nicht dort festgenagelt, er wandert vielmehr in Richtung der Profiltiefe und zwar in Abhängigkeit vom Anstellwinkel. Der Druckpunkt als Angriffspunkt des Auftriebs ist nun gleichsam der „Aufhängepunkt“ für unser Flugzeug: Wenn es gelingt, den Schwerpunkt genau unter dem Druckpunkt zu plazieren, dann nimmt unser Flugzeug von ganz alleine eine horizontale Lage ein. Liegt der Schwerpunkt weiter vorn, dann wird es die Nase senken, es ist „kopflastig“. Bei Kopflastigkeit verringert sich automatisch der Anstellwinkel, damit wandert der Druckpunkt weiter nach hinten, die Kopflastigkeit wird durch den größer werdenden Hebel zwischen Druckpunkt und Schwerpunkt noch größer. Liegt der Schwerpunkt hinter dem Druckpunkt, so wird es „schwanzlastig“ und die Nase hebt sich. Infolge des größeren Anstellwinkels wandert der Druckpunkt in umgekehrter Richtung nach vorn, das Flugzeug wird noch schwanzlastiger.

 druckpkt

Diese sich quasi aufschaukelnden Effekte werden durch die Höhenflosse gedämpft und können mit dem Höhenruder aktiv ausgeglichen werden. Allerdings ist die Wirkung des Höhenruders naturgemäß begrenzt, es ist also von größter Wichtigkeit, daß der Schwerpunkt vor Antritt des Fluges an der richtigen Stelle, nämlich möglichst genau unterhalb des Druckpunktes liegt. Das Höhenruder soll keinesfalls eine falsche Schwerpunktlagen korrigieren, sondern die Flugbahn kontrollieren und Schwingungen um die Querachse eliminieren, die beispielsweise durch Böen hervorgerufen werden.

Die Lage des Schwerpunkts

Das leere Flugzeug hat seinen Leergewichtsschwerpunkt meist schon am richtigen Ort, also unterhalb des Druckpunktes. Diese Schwerpunktlage ändert sich allerdings durch die Beladung. Zuladung, die vor dem Leergewichtsschwerpunkt zugefügt wird, läßt ihn nach vorne wandern, Gepäck, das hinter dem Schwerpunkt zugeladen wird, verschiebt ihn in Schwanzrichtung. Insgesamt muß bei der Zuladung also darauf geachtet werden, daß sich der Schwerpunkt nicht aus dem zulässigen Bereich verschiebt, das Flugzeug also ausgewogen bleibt. Diese Schwerpunktlage wird natürlich nicht durch Probieren ermittelt, man nimmt vielmehr das Hebelgesetz aus der Physik zu Hilfe.

Das Hebelgesetz

Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der rechtsdrehenden Momente gleich der Summe der linksdrehenden Momente ist. Ein Drehmoment ist dabei nichts anderes als das Produkt aus dem Gewicht multipliziert mit dem Abstand, in dem es vom Drehpunkt entfernt aufgehängt wird.
Der Druckpunkt ist nun unser Drehpunkt im Flugzeug. Alle Gewichte, die in Richtung Propeller vor dem Druckpunkt aufgehängt werden, führen zu einem kopflastigen (linksdrehenden) Moment. Alle Gewichte, die schwanzwärts hinter dem Druckpunkt eingebracht werden, erzeugen ein schwanzlastiges (rechtsdrehendes) Moment. Dabei spielt nicht nur die Größe des Gewichts eine Rolle, sondern auch sein Abstand vom Drehpunkt.
Sind beide Momente, rechtsdrehendes wie linksdrehendes gleich groß, so ist das Flugzeug im Gleichgewicht, der Schwerpunkt befindet sich also unter dem als Aufhängepunkt gedachten Druckpunkt. Ist das schwanzlastige Moment größer, dann ist klar, daß der Schwerpunkt in Schwanzrichtung ausgewandert ist, ist das kopflastige größer, dann liegt der Schwerpunkt mehr in Richtung Rumpfspitze.

Bestimmung der Schwerpunktlage

Die Bestimmung des Schwerpunkts muß vor jedem Flug vom Piloten durchgeführt werden. Aus Gründen der Vereinfachung wird der zum Berechnen der Momente notwendige Drehpunkt nicht in den Druckpunkt gelegt sondern davor. Oft nimmt man das Brandschott als Bezugsebene, manchmal auch das Vorderende der Propellernabe. Dies hat den Vorteil, daß keine Momente mit unterschiedlichem Vorzeichen auftauchen, die Rechnung wird also etwas einfacher.

schwpkt

Der zulässige Schwerpunktbereich wird vom Hersteller festgelegt und im Flughandbuch genau angegeben. Dabei ist dieser Bereich meist nicht über die ganze Zuladung hinweg konstant, vielmehr wird der zulässige Schwerpunktbereich mit zunehmender Abflugmasse immer kleiner. Dies rührt daher, dass es letzlich auf die entstehenden Momente ankommt und bei größer werdender Masse eben der mögliche Hebel verkleinert werden muss. In der grafischen Darstellung des Schwerpunktbereichs äussert sich dies in einer trapezförmigen Verjüngung ab einem bestimmten Gewicht.

diagramm

Ermittlung der Momente

Im Flughandbuch ist die sogenannte Bezugsebene, in der man sich den Drehpunkt denkt genau angegeben, außerdem die Abstände der einzelnen möglichen Gewichtspositionen von dieser Bezugsebene. Die tatsächliche Zuladung wird ermittelt und von Hand eingetragen (hier in blau dargestellt). Aus den Massen und den Hebelarmen werden die jeweiligen Momente errechnet und ebenfalls eingetragen. Schließlich werden die Massen und die Momente addiert.

  Gewicht Hebelarm Moment
Leergewicht
783 kg
0,988 m
773,6 kgm
Pilot und Copilot
160 kg
0,940 m
150,4 kgm
Passagiere
80 kg
1,850 m
148,0 kgm
Gepäckfach 1
20 kg
2,413 m
48,3 kgm
Gepäckfach 2
0 kg
3,120 m
0 kgm
Kraftstoff
57,6 kg
1,220 m
70,3 kgm
       
Summe
1100,6 kg
 
1190,5 kgm

Aus dieser Beispielrechnung für eine Cessna F172S (D-EBRO) wird sofort deutlich, dass die dargestellte Beladung gerade noch unterhalb des höchstzulässigen Abfluggewichts von 1120 kg liegt. Der aktuelle Schwerpunkt wird ermittelt, indem das erhaltene Gesamtmoment durch die Gesamtmasse dividiert wird. Diese Rechnung ergibt eine Schwerpunktlage von 1,082 m. Da der zulässige Schwerpunktbereich bei diesem Gewicht 1,04 m und 1,2 m beträgt, liegt die dargestellte Beladung im zulässigen Bereich.

Der rechnerische Aufwand hält sich in Grenzen, ausser den Grundrechenarten sind keine weiteren Operationen notwendig. In einer Tabellenkalkulation können diese automatisch ausgeführt werden, so dass das Gesamtgewicht, das Gesamtmoment und der Schwerpunkt nach der Eingabe der aktuellen Massen sofort ersichtlich sind. Etwas kritisch ist die Interpretation des erhaltenen Schwerpunkts im trapezförmigen Bereich der zulässigen Schwerpunktgrenzen. Hier helfen jedoch die grafischen Möglichkeiten der Tabellenkalkulation, wenn man den Schwepunktbereich und den ermittelten Schwepunkt in einem Diagramm darstellt.

Benötigte Daten

Für die komfortable Schwerpunktbestimmung mit Hilfe der Tabellenkalkulation muss sich der eifrige Flieger erst auf die Suche nach den benötigten Daten machen. Wir brauchen das maximale Fluggewicht, das Leergewicht und den Leergewichtsschwerpunkt. Häufig ist der Leergewichtsschwerpunkt im Flughandbuch nicht zu finden, sondern nur das Leergewichtsmoment. In diesem Fall erhält man den Schwerpunkt durch Division des Moments mit der Leermasse. Ausserdem benötigt man die Hebel für alle möglichen Lastpositionen im Flugzeug: Erste Sitzreihe, zweite Sitzreihe, Gepäckablagen und Kraftstofftanks.
Um die Eingabe unsinniger Werte zu erschweren, sind außerdem Maximalangaben (max. Gepäckzuladung, Fassungsvermögen der Tanks, ...) aufgenommen. Gibt man in die entsprechenden Felder bei der Weight&Balance-Berechnung zu große Werte ein, so wird der eingetragene Wert mit Hilfe der bedingten Formatierung in Rot dargestellt.
Für die Interpretation des errechneten Schwerpunkts muss außerdem der zulässige Schwerpunktbereich über seine relevanten Eckpunkte abgebildet werden. Grafisch ergibt sich häufig ein Rechteck mit aufgesetztem Trapez, diese Figur lässt sich durch sechs Punkte beschreiben. Diese sechs sind in der Datentabelle folgendermaßen benannt:

S2v vordere Schwerpunktlage bei S2h hintere Schwerpunktlage bei S2w Maximalgewicht
S1v vordere Schwerpunktlage bei S1h hintere Schwerpunktlage bei S1w Gewicht, ab dem sich der zulässige Schwerpunktbereich verjüngt
S0v vordere Schwerpunktlage bei S0h hintere Schwerpunktlage bei S0w Leergewicht

In den Diagrammen der Cessna 172 und der Robins ist die hintere Schwerpunktgrenze für alle Massen gleich, die Werte für S0h, S1h und S2h sind somit identisch. Ausserdem sind die Werte für S0v und S1v gleich. Hat der Schwerpunktbereich Rechtecksform wie beispielsweise bei der Dimona, so sind sogar alle vorderen Werte S0v, S1v und S2v alle gleich; für S1w gibt man dann ein beliebiges Gewicht zwischen Leermasse und höchstzulässigem Abfluggewicht an. Mit den vorgesehenen 6 Punkten können jedoch auch Diagramme dargestellt werden, die vielleicht etwas unregelmäßiger geformt sind.
In der EXCEL-Tabelle "Flugvorbereitung.xls" sind all diese Werte für die Flugzeuge des Luftsportrings Aalen (Cessna 172, Jodel Regent und Remoquer, Dimona sowie C42) eingetragen. Die Hebel und Bereichsgrenzen des Schwerpunkts wird man bei gleichen Flugzeugtypen übernehmen können, auf jeden Fall angepasst werden müssen das Leergewicht, der Leergewichtsschwerpunkt und natürlich die Kennung.
Weitere Datenfelder sind vorgesehen für den Treibstoffverbrauch und die benötigten Start- und Landestrecken.
Fügt man die Daten weiterer Flugzeuge in die Tabelle an oder möchte man nicht benötigte Datensätze löschen, so müssen auf dem Weight&Balance-Sheet alle Verweise auf die Datentabelle geändert werden. Dies beginnt bereits bei den Eigenschaften der Pulldown-Liste, aus der die Flugzeuge ausgewählt werden können. Ausserdem müssen alle Felder angepasst werden, in denen Daten des jeweiligen Flugzeugs angezeigt werden. Dahinter steht meist die SVERWEIS-Funktion, die als einen Parameter den Bezug zur Datentabelle enthält. In der Originalfassung lautet diese Formel beispielsweise

=SVERWEIS($B$1;Flugzeuge!$A$2:$AF$14;6)

Der hier rot markierte Teil ist der Verweis auf die Datentabelle. Geändert werden muß bei einer Verkleinerung oder Vergrößerung der Flugzeugtabelle lediglich die letzte (oben fett und größer dargestellte) Zahl, sie gibt die letzte Tabellenzeile mit Flugzeugdaten an. Fügt man beispielsweise ein weiteres Flugzeug in die Liste hinzu, so muss die oben fett dargestellte Zahl 14 in 15 geändert werden. Nimmt man ein Flugzeug aus der Datei, so dekrementiert man auf 13.

Handhabung in EXCEL

 Auf dem 2. Tabellenblatt der Flugvorbereitungsdatei wählt man zunächst über die Kennung das entsprechende Flugzeug aus. Dadurch werden bereits alle relevanten Daten (Leergewicht, Hebel, ...) in die Gewichtsberechnung übernommen. Engegeben werden müssen nur die aktuellen Werte für Piloten- und Passagiergewicht, Gepäck in kg. Die an Bord befindliche Treibstoffmenge wird in Litern angegeben und automatisch über die Treibstoffdichte 0,72 in kg umgerechnet. Die Eingaben erfolgen somit nur in die gelb hinterlegten Felder.

masse schwerp

Die Gesamtmasse wird in Grün angezeigt, solange sie unterhalb der höchstzulässigen Abflugmasse liegt, sonst wird das Feld rot hinterlegt. Auch die Schwerpunktlage wird in Grün angezeigt, solange sie im zulässigen Bereich liegt, andernsfalls wird auch dieses Feld rot hinterlegt. Um den zulässigen Bereich festzustellen, wird die vordere Grenzlage in Abhängigkeit vom aktuellen Gewicht bestimmt. Das Schwerpunktdiagramm gibt allerdings sofort grafisch Aufschluss über die Lage des Schwerpunkts.

schwerpunkt

Realisation in EXCEL

Über die Realisation der Schwerpunktberechnung mit Hilfe von EXCEL müssen hier nicht viele Worte verloren werden. Die zugrundeliegende Mathematik und damit die implementierten Formeln sind sehr einfach. Auf ein paar Tricks kommt man, wenn man das Schwerpunktdiagramm beiseite schiebt. Beim Arbeiten mit dem Formular sollte man darauf achten, nur in die gelb hinterlegten Zellen Werte einzutragen, da man sonst Gefahr läuft, eingegebene Formeln zu überschreiben. Wahrscheinlich ist es in diesem Zusammenhang sinnvoll, den Blattschutz einzuschalten. Die jeweiligen Eingabezellen sind bereits für die Eingabe freigegeben.