| Jahrelang haben Sie gelernt, dass man keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann. Dies wurde meist als ebenso unmöglich dargestellt wie das Dividieren durch Null. Doch während die Division durch Null wirklich nicht machbar ist, kann man aus negativen Radikanten tatsächlich Wurzeln ziehen - es kommt hierbei nur auf den passenden Zahlenbereich an! |
| Bereits Mitte des 16. Jahrhunderts setzten sich Mathematiker über die "Unmöglichkeit" solcher Zahlen hinweg und rechneten mit negativen Wurzeln einfach weiter. Zu einer gewissen Berühmtheit hat es die Aufgabe von Gerolamo Cardano gebracht, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist. Diese Aufgabe führt auf eine quadratische Gleichung, deren Mitternachtsformel negative Wurzeln liefert. Führt man mit diesen negativen Wurzeln die Probe durch, dann stimmt das Ergebnis überraschender Weise. Derart ermutigt rechneten die Mathematiker mit solchen "ohnmöglichen Zahlen" – wie Euler sie nannte – weiter, allerdings ohne diese auf ein klares fachliches Fundament zu stellen, so dass immer ein gewisses Unbehagen blieb. Erst Gauss schaffte 1832 den Durchbruch, als er solche imaginären Zahlen mit den reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen verband und sie als Punkte der (Gauss'schen) Zahlenebene deutete.
Wesentliche Gründe, die komplexen Zahlen in die Lehramtsausbildung aufzunehmen, obwohl diese aus dem Mathematikkanon der allgemeinbildenden Schulen verschwunden sind, finden sich bei Joachim Engel. Wir werden in der Veranstaltung diese Zahlen und ihre verschiedenen Darstellungen kennen sowie mit ihnen rechnen lernen und einige zahlentheoretische Überlegungen anstellen. Desweiteren werden wir zeigen, dass diese neue Zahlenmenge einen Körper bildet und erfahren, dass die Vorteile des Ziehens von Wurzeln aus negativen Radikanten mit der Aufgabe anderer, seither gewohnter Zusammenhänge einhergehen. Die komplexen Zahlen ermöglichen als Punkte der Zahlenebene mannigfaltige geometrische Operationen. Sie führen dabei von den bekannten Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen hin zu konformen Abbildungen. Dies sind Abbildungen, die keine Kollineationen mehr sind: Geraden werden auf Kreise abgebildet und umgekehrt. Schließlich führen Möbius-Transformationen durch einfaches Iterieren in den Bereich der Chaostheorie. Die dafür nötigen Berechnungen können nicht mehr sinnvoll von Hand ausgeührt werden, mit dem Veranstaltungsfortschritt wird daher zunehmend das CAS Maxima zum Einsatz kommen. Der Einsatz des dynamischen Geometriesystems Cinderella erleichtert das Verständnis des Zusammenhangs zwischen arithmetischen und geometrischen Operationen ungemein. Als Hörer/in der Veranstaltung sollten Sie beide Programme auf Ihrem Laptop installiert haben und diese auch über die Anregungen in den Übungen hinaus intensiv nutzen. Neben all den fachlichen Inhalten hat diese Veranstaltung durchaus auch eine didaktische Komponente: Der Zahlbereich der komplexen Zahlen ist für Sie neu – so neu, wie es für Schüler die Zahlbereiche der ganzen und der rationalen Zahlen sind. Die Erfahrungen, die Sie bei der Einarbeitung in einen neuen Zahlenbereich selbst machen, können Ihr Verständnis für die letztendlich gleichartigen Schwierigkeiten der Schüler durchaus vertiefen. Diese Veranstaltung hatte bereits seit einiger Zeit ein Kollege übernommen. |
